第二节 可分离变量的微分方程

发布于 2021-03-20  215 次阅读


可分离变量的微分方程

把型如
$$\frac{dy}{dx}=f_{1}(x)f_{2}(y)\
M_{1}(x)M_{2}dx+N_1(x)N_2
(y)dy=0$$
的微分方程转化为$$g(y)dy=f(x)dx$$的微分方程,然后两边同时积分就好了

例一.求微分方程

$\frac{dy}{dx}=3x^2y$的通解
直接分离变量得$\frac{dy}{y}=3x^2dx$ 然后两边积分就好了

例二 求通解

$$\frac{dy}{dx}=sin^2(x-y+1)$$

显然x和y在sin里面,用公式拆开后无法分离变量。
考虑令$u=x-y+1$,则$\frac{du}{dx}=1-\frac{dy}{dx}$
$1-\frac{du}{dx}=sin^2u$
$sec^2udu=dx$
$tanu=x+C$
$tan(x-y+1)=x+C$

例三 求通解

$(x+xy^2)dx-(x^2y+y)dy=0$
分离变量得$\frac{y}{1+y^2}dy=\frac{x}{1+x^2}dx$

$\frac{dy}{dx}+sin(x+y)=sin(x-y)$
将sin拆开后分离变量得
$\frac{dy}{siny}=-2cosxdx$

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一沙一世界,一花一天堂。君掌盛无边,刹那成永恒。