组合数学的果题

发布于 2019-01-28  1083 次阅读


一些(无用)知识的补充

小r数学课又双叒叕走神了,他只记得老师在上课时讲了x1+x2+x3+x4=100等价与把小球装入盒子的方案数。但是小r忘了盒子是不是相同,球是不是相同,盒子能不能空?

于是他只好回家去问Seiga,作为小r的好朋友。Seiga耐心的帮小r辅导。

首先这个问题有3个变量:球,盒子,盒子是否可空。
所以我们可以写出下面8种情况:

1.将n个相同的球放入m个不同的盒中,可以空
$\small f_{(n,m)}=C^n_{m+n−1}=\frac { (m+n−1)!}{n!(m−1)!}$
解释:多重组合问题,就是从m个元素中可重复取n个不考虑顺序的方案。就是课上例题,考虑每个格子先放一个。

2.将n个相同的球放入m个不同的盒中,不能空,有多少种情况。
解释:课上例题 $\small C^{n−m}{n−1}=C^{m−1}{n−1}$

3.将n个相同的球放入m个相同的盒中,可以空。
Seiga:对于这个问题,需要用到母函数的知识,泰勒展开一下就好了,考虑到小r不会,就先放着。

不过这里给一个递推式:
设f(n,m)为n拆成m份的方案数。
如果这么拆:
$\small x_1+x_2+x_3+...+x_m=n \tiny(x_i>=1)$

当$\small x_1=1$时,后面的拆法表示成$f_{(n-1,m-1)}$。
当$\small x_1 \ge2$时,式子可以变成$\small (x_1-1)+(x_2-1)+...+(x_m-1)=n-m$

所以后面的拆法表示成$\small f(n-m,m)$

所以$f_{(n,m)}=f_{(n-1,m-1)}+f_{(n-m,m)}$

4.将n个相同的球放入m个相同的盒中,不可以空
这个和上面的问题等价,会用到小r不会的知识,所以给出递推式:
自己想想
f(n,m)=f(n-m,m)+f(n,m-1)

5.将n个不同的球放入m个不同的盒中,可以空
果题:$m^n$

6.将n个不同的球放入m个不同的盒中,不可以空
$\small \sum ^m_{i=0}(−1)^iC^i_m(m−i)^n$
第二类Stirling然后全排列即可。
$m!S(n,m)$

小r:什么是第二类Stirling数?
Seiga:小r不急,我在下一章告诉你。
大力容斥也行。...式子不写了吧?

小r:Seiga,写一下式子吧...
Seiga:......

$\small | \overline {A1}∩ \overline{A2}...∩ \overline {An}|=m^n−C^1_m(m−1)^n+C^2_m(m−2)^n+...+(−1)^mC^m_m(m−m)^n
\newline \qquad\qquad\qquad\qquad \ \ =\ \small \sum ^m_{i=0}(−1)^iC^i_m(m−i)^n$

7.将n个不同的球放入m个相同的盒中,可以空
因为可以有空盒,我们可以枚举每次一共用了几个盒子,然后把相应的第二类Stirling数加起来就可以了.
$\sum ^m_{i=1}S(n,i)$

Seiga:这个就是Bell数,我们记$B(n)$表示将集合{1,2,...,n}的划分数,就是将n个元素分为两两不交的子集,并集是全集。(就是此题题目的意思)。
详细的有些超纲,不赘述了。

8.将n个不同的球放入m个相同的盒中,不可以空
这就是刚才说的第二类Stirling数,
$S(n,m)= \frac{1}{m!}∑^m_{i=0}(−1)^iC^i_m(m−i)^n$
小r:这是怎么推倒的呢?
Seiga:至于证明...还是算了(才不是不会呢

听了Seiga的讲解,小r觉得自己快追上班里的平均水平了。...
于是...

题外话:由于有人建议要讲的难点,所以我写了点课上知识的拓(fei)展(hua)。
提示:这些可能在我下周出的简(du)单(liu)题要用。

$n=2k+1$
$ans=\sum_{i=0}^{k-1} \frac{n!}{i!(i+1)!(k+1-i)!(k-1-i)!}+ \frac{n!}{i!(i+3)!(k-1-i)!(k-1-i)!}$

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一沙一世界,一花一天堂。君掌盛无边,刹那成永恒。